1969'da Ankara'da doğan Aksoy, 1992'de Mimar Sinan Üniversitesi Devlet Konservatuarı'nı bitirdi. Henüz konservatuvar yıllarında Cüneyt Gökçer, Haluk Kurtoğlu ve Kenan Işık gibi üstadların yanında Devlet Tiyatrosu'nda sahneye çıkma şansu buldu.
Mezuniyetten sonra 2 yıl Dormen Tiyatrosu, 2 yıl Gülriz Sururi ve arkasından 6 yıl Kent Oyuncuları'nda oynadı. Kenterler'de Müşfik Kenter'le karşılıklı oynadığı 'Helen Helen' adlı iki kişilik oyun, 'Yolun Yarısı', 'Uşak Ne Gördü?', 'Sokak Kızı İrma', 'Ver Elini Broadway' ve 'Çok Uzak Fazla Yakın' gibi oyunlar bazılarıdır.
Bu yıllarda TV dünyasına adım attı. ATV'de yayınlanan Çiçek Taksi dizisine genç taksici Kenan rolüyle dahil oldu ve 1995-2003 yılları arasında bu dizide rol aldı. Bu yıllarda sinemada da Abdülhamit Düşerken ve Ömerçip gibi filmlerle aktif oldu. 2006 yılında Show TV'nin Doktorlar dizinde bu kez Doktor Suat rolüyle izleyicilerin beğenisini kazandı. 3 sezon dizinin başrol oyuncuları arasındaydı. Daha sonra da Türk Malı, Yahşi Cazibe ve Salih Kuşu gibi dizilerde oynadı.
Bekir Aksoy, 2013 yılında kendisinden 23 yaş küçük model Derya Çavuşoğlu ile evlendi. 2014 yılında Emir Berk adında bir erkek çocuğu dünyaya geldi.