Trabzon'da doğan Eğilmez ilk ve orta öğrenimini Konya da tamamladı. İstanbul Üniversitesi İktisat Fakültesi’nden mezun olduktan sonra dükkan açıp bakkallık yaptı. Askerlik sonrasında, Çağlayan Yayınevini kurdu. 1950’li yılların sonuna doğru bir çok karikatüristin yetiştiği Tef adlı mizah dergisini çıkardı. Yayın dünyasında çıkardığı cep kitapları ile bir devrim yaptı. Kemal Tahir’e, Mayk Hammer takma adıyla polisiye romanları yazdırdı.Ardından, 1961 yılında Efe ve 1964 yılında Arzu Film şirketini kurdu. Yapımcılık ve yönetmenlik yapmaya başladı.1965 yılında popüler aşk filmleri, 1970’li yıllarda sevgi, dostluk ve güncel olayları güldürü öğesiyle kaynaştırarak filme aldı. 1960 yılların sonuna doğru, Arzu Film güldürüleriyle gerçek halk sineması örneklerin vermiştir. Rıfat Ilgaz’dan uyarladığı Hababam Sınıfı serisiyle oldukça büyük bir ilgi uyandırdı. 1980 yılında yaptığı Banker Bilo ve 1988 yılında yaptığı Namuslu filmleriyle, Türkiye’nin temel sorunlarına bakışı açısını kendi mizah anlayışıyla ele aldı. 1988 yılında yönettiği Arabesk filmi gişe de oldukça büyük bir başarı elde etti.
1989'da İstanbul'da vefat eden usta yönetmen, Karacaahmet Mezarlığı'na gömüldü.