Nesrin-Halil Yeltan çiftinin çocuğu olarak Aydın'ın Nazilli ilçesinde doğdu. Ablası Ayçıl Yeltan da oyunculuk yapmıştır. İstanbul Üniversitesi, Edebiyat Fakültesi'nde eğitimine başlayan sanatçı, aynı süreçte Ali Poyrazoğlu Tiyatrosu'nda çalışmaya başlayınca, eğitimiyle iş yaşamını birleştirmek amacıyla Devlet Konservatuvarı, Tiyatro Bölümü'ne geçerek mezun oldu. Yıldız Kenter, Haldun Dormen ve Suat Özturna gibi isimlerle çalıştı. Tiyatro İstanbul, Tiyatro Ti, Bakırköy Belediye Tiyatrosu, Gazanfer Özcan - Gönül Ülkü Tiyatrosu gibi topluluklarda görev aldı. Çeşitli sinema ve dizi filmlerde rol aldı. Akla gelen önemli dizileri arasında Yılan Hikayesi, Davetsiz Misafir, Ey Aşk Nerdesin sayılabilir. Ayrıca Mehmet Güreli'nin Odamda Yolculuk albümündeki tüm şarkı sözlerini yazdı. Görkem Yeltan, aynı zamanda çocuk kitapları ve Radikal ve Akşam gazetelerinde köşe yazıları yazdı, çocuk albümleri yaptı.
İlk yönetmenlik denemesini 2015'te Yemekteydik ve Karar Verdim adlı filmle gerçekleştirdi. Aynı zamanda bu filmin başrolünde oynadı.
Kitaplarından bazıları Kırmızı’nın Mektupları (2002), Kırmızı'nın Günlüğü (2003), Zebra Zaza (2004), Hımbıl Beyaz (2004), Deniz Kabuğu Serisi okuma kasetleri (2004), Kaplumbağa İle Eşek (2005), Define Bahçesi (2005) şeklindedir.