Kıbrıslı Mehmet Kamil Paşa'nın yeğeni olan Alasya İstanbul'da doğdu. Robert Koleji'nden mezun olan sanatçı sanat hayatına da 1959'da MTTB tiyatrosunda amatör olarak başladı. Arena, Genar ve Ulvi Uraz tiyatrolarında çalıştıktan sonra Haldun Taner, Metin Akpınar ve Ahmet Gülhan ile birlikte Devekuşu Kabare Tiyatrosu'nun kurucuları arasında yer aldı.
Film çevirmeye 1973'ten sonra başladı. Metin Akpınar ile birlikte Türk sinemasında yeni bir ikili oluşturdular. Salak Milyoner ve Köyden İndim Şehire filmlerindeki Himmet Ağa rolleriyle büyük beğeni kazandı. Güler Misin Ağlar Mısın, Nereye Bakıyor Bu Adamlar, Hasip ile Nasip gibi filmleriyle Metin Akpınar'la ilk önemli çalışmalarını yaptı. İlk yönetmenlik deneyimini de yaşadığı, kariyerinde önemli yere sahip 1977 ve sonrası filmleri olan Aslan Bacanak, Sivri Akıllılar, Caferin Çilesi, Petrol Kralları, Doktor, Köşe Kapmaca, Vay Başımıza Gelenler ve Elveda Dostum yer alır.
2000'li yıllarla birlikte daha çok televizyon dizilerinde boy gösteren Alasya Dedem Gofret ve Ben (2001), Yabancı Damat (2004), Cennet Mahallesi (2004), Akasya Durağı (2009) ve son olarak vefatından kısa bir süre önce final yapan Küçük Ağa (2013) dizilerinde oynadı. Ayrıca Rus Gelin, Ömerçip ve Cumhurbaşkanı Öteki Türkiye'de filmlerini yönetti ve başrollerinde oynadı.
Zeki Alasya, 22 Nisan 2015'te karaciğer rahatsızlığı nedeniyle Koç Üniversitesi Hastanesi'ne kaldırıldı. Usta oyuncu 8 Mayıs 2015 sabahı yaşama veda etti. Cenazesi, 10 Mayıs günü Levent Camii'nde kılınan namazın ardından Zincirlikuyu Mezarlığı'na defnedildi.
1998'de Devlet Sanatçısı unvanı alan Alasya, 2010 yılında Altın Portakal Film Festivali'nde Yaşam Boyu Başarı Ödülü'ne layık görülmüştü. İlk evliliğini Oya Alasya ile yapan sanatçının Zeynep adlı bir kızı dünyaya geldi. 1987'de boşanan sanatçı bir süre Türkiye 2. Güzeli seçilmiş oyuncu Sema Yunak ile birliktelik yaşadı. 2008 yılında ise kendinden 30 yaş küçük Jülide Atak ile evlenmişti.